Глава 3

Игроки Ренессанса

Пьеро делла Франческа, написавший Деву Марию («Мадонна с Младенцем и святыми»), жил с 1420-го по 1492 год, на двести с лишним лет позже Фибоначчи. Время его жизни совпало с расцветом итальянского Ренессанса, и разрыв между но­вым духом XV столетия и обветшавшим к тому времени духом Средневековья нашел яркое отражение в его творчестве.

На его полотнах фигуры, даже фигура Девы, воплощают земную человеческую жизнь. Они лишены нимбов, твердо стоят на земле, каждая несет на себе печать индивидуальности и занимает свое мес­то в трехмерном пространстве. Хотя предполагается, что все они со­брались, чтобы приветствовать Святую Деву и младенца Христа, кажется, что большинство из них занято чем-то своим. Тени, созда­ющие в готической архитектуре атмосферу таинственности, здесь призваны подчеркнуть весомость фактуры и протяженность обрам­ляющего фигуры пространства.

Яйцо кажется подвешенным над головой Девы. Более вниматель­ное изучение картины заставляет задуматься, на чем, собственно, подвешен этот небесный символ плодовитости. И почему эти земные, хотя и благочестивые мужчины и женщины не замечают эту стран­ную штуку, зависшую над ними?

Греческая философия перевернута вверх ногами. Теперь тайна пе­ренесена на небеса. На земле мужчины и женщины ведут свободную человеческую жизнь. Эти люди уважают все связанное с божествен­ными проявлениями, но ни в коем случае не подавлены ими — черта, вновь и вновь воспроизводимая в искусстве Ренессанса. Чарующая статуя Давида работы Донателло была одной из первых обнаженных мужских скульптур со времен классических Греции и Рима; великий герой и поэт Ветхого Завета, прекрасный в своей юношеской наготе, стоит перед нами без тени стыдливости, с головой Голиафа в ногах. Большой собор Брунеллески, как и кафедральный собор во Флорен­ции, с их четко вылепленными массами и строгим интерьером де­монстрируют, как религия буквально низведена на землю.

Ренессанс был временем открытий. В год смерти Пьеро Колумб отправился искать путь в Индию; вскоре появилась книга Копер­ника, радикально изменившая взгляд людей на небеса. Его откры­тия потребовали высокого уровня математического искусства, кото­рое в течение XVI века ознаменовалось впечатляющими достижени­ями, особенно в Италии. Следом за изобретением примерно в 1450 го­ду книгопечатания с наборным шрифтом произведения многих клас­сиков математической науки были переведены с латыни на итальян­ский, опубликованы на латыни или на языках других народов Евро­пы. Математики состязались в бурных публичных диспутах о реше­нии сложных алгебраических уравнений, и публика восторженно приветствовала своих фаворитов.

Этот интерес был вызван опубликованной в 1494 году замеча­тельной книгой францисканского монаха по имени Лука Пацциоли¹. Пацциоли родился около 1445 года на родине Пьеро делла Франческа в Борго-Сан-Сеполькро. Хотя семья понуждала мальчи­ка готовиться к карьере торговца, Пьеро занимался с ним чтением, рисованием, историей и приучил пользоваться знаменитой библио­текой в соседнем замке Урбино. Полученные здесь знания заложи­ли основу будущей известности Пацциоли как математика.

В двадцатилетнем возрасте он получил в Венеции место учителя сына богатого купца, стал посещать публичные лекции по филосо­фии и теологии и продолжил изучение математики с частным пре­подавателем. Будучи способным учеником, он еще в Венеции опуб­ликовал свою первую работу по математике. Одновременно он изу­чал архитектуру и военное искусство под руководством своего дяди Бенедетто, офицера на службе Венецианской республики.

В 1470 году Пацциоли переселился в Рим для продолжения своего образования и в двадцатисемилетнем возрасте стал фран­цисканским монахом. Однако его научные занятия не прервались. Он преподавал в Перудже, Риме, Неаполе, Пизе и Венеции, пока в 1496 году не занял место профессора математики в Милане. Деся­тью годами раньше ему уже была присвоена степень магистра, со­ответствующая нынешней степени доктора*(В России — кандидата наук. — Примеч. науч. редактора.).

Главный труд Пацциоли «Summa de arithmetic, geometria et proportionality» («Книга об арифметике, геометрии и пропорциях»; самые серьезные академические работы в то время еще писали на латыни) появился в 1494 году. В ней Пацциоли признаёт, что мно­гим обязан «Liber Abaci» Фибоначчи, появившейся тремя столетия­ми раньше. В «Summa», написанной во славу «величайшей абстрак­ции и утонченности математики», излагаются основы алгебры и со­держатся таблицы умножения до 60 х 60 — весьма полезная вещь для времени, когда с помощью книгопечатания получила широкое распространение новая система счисления.

Один из наиболее интересных разделов книги посвящен двой­ной бухгалтерии. Она не была изобретением Пацциоли, хотя он и занимался ею не один год. Понятие двойной бухгалтерии встреча­ется в «Liber Abaci» Фибоначчи и используется в опубликованной около 1305 года в Лондоне книге лондонского филиала некой ита­льянской фирмы. Каково бы ни было его происхождение, это рево­люционное новшество в методике бухгалтерских расчетов имело серьезные экономические последствия, сравнимые с изобретением паровой машины тремя столетиями позже.

В Милане Пацциоли познакомился с Леонардо да Винчи, став­шим его близким другом. Пацциоли был поражен талантом Леонар­до и восхищался его «бесценной работой о движении в пространстве, столкновениях, весах и всех силах»². У них, наверно, было много общего, потому что Пацциоли интересовали взаимосвязи между ма­тематикой и искусством. Однажды он заметил, что, «если вы гово­рите, что музыка услаждает одно из наших природных чувств — слух... [перспектива] делает то же со зрением, которое имеет гораздо большую цену, потому что является входной дверью интеллекта».

Леонардо был мало знаком с математикой до встречи с Паццио­ли, хотя имел интуитивное понимание пропорций и хорошее гео­метрическое воображение. Его записные книжки и раньше были заполнены изображениями прямоугольников и кругов, но Паццио­ли побудил его к математическому осмыслению понятий, ранее ис­пользуемых интуитивно. Мартин Кемп, один из биографов Леонар­до, отмечает, что Пацциоли «стимулировал внезапно появившиеся у Леонардо математические амбиции, обусловившие переориента­цию его интересов в направлении, на котором ни один из ученых современников ему не сопутствовал». Леонардо отблагодарил Пац­циоли, снабдив рисунками написанную им большую книгу «De Divine Proportione» («Божественная пропорция»), которая появилась в двух прекрасно оформленных манускриптах в 1498 году. Ее печатное из­дание вышло в свет в 1509 году.

Леонардо имел экземпляр «Summa» и, должно быть, прилежно проштудировал его. Его записные книжки свидетельствуют о по­вторяющихся попытках освоить умножение и дроби в применении к использованию пропорций. В одном месте он напоминает себе, что должен «изучить умножение корней по мастеру Луке». По ны­нешним меркам математические познания Леонардо соответствова­ли бы уровню третьего арифметического класса.

Тот факт, что у таких гениев Ренессанса, как Леонардо, было столько трудностей с элементарной арифметикой, дает представле­ние о состоянии математических знаний в конце XV века. Каким образом математики нашли в себе силы с этих позиций сделать пер­вые шаги к созданию методов измерения риска и контроля за ним?

Сам Пацциоли чувствовал, какие огромные возможности таятся в волшебстве чисел. В тексте «Summa» он предложил следующую задачу:

А и В играют в balla* (Игра в мяч. — Примеч. переводчика.). Они договорились играть, пока один из них не выиграет шесть конов. На самом деле игра прекратилась, когда А вы­играл пять, а В три кона. Как поделить банк?³

В течение XVI и XVII столетий математики вновь и вновь об­ращались к этой головоломке. Она имела много вариаций, но все­гда вопрос сводился к одному: как поделить банк в неоконченной игре? Предлагались разные ответы, разгорались горячие споры.

Головоломка, получившая известность как задача об очках, име­ла более глубокий смысл, чем кажется на первый взгляд. Ее реше­ние ознаменовало начало систематического анализа вероятности — измерения нашего знания о том, что что-то должно произойти. Оно приводит нас на порог квантификации риска.

Получив представление о том, каким могучим барьером на пути ис­следования тайн теории вероятностей были предрассудки Средневеко­вья, интересно снова вернуться к вопросу, почему греки и даже рим­ляне не интересовались задачами, подобными головоломке Пацциоли.

Вообще-то греки понимали, что в будущем может произойти больше вещей, чем произойдет на самом деле. Они отмечали, что естественные науки — это, используя терминологию Платона, «науки о возможном». Аристотель в «De Caelo» говорил: «Добиться успе­ха во многих вещах или много раз трудно; например, выбросить не­кую комбинацию в кости десять тысяч раз подряд было бы невоз­можно, но сделать это один или два раза сравнительно легко»⁴.

Это подтверждалось простыми наблюдениями. Но следует заме­тить, что правила, по которым греки и римляне играли в случайные игры, в наше время показались бы весьма нелепыми. Это тем более странно, что в античном мире такие игры были очень популярны (гре­кам уже были известны шестигранные кости) и являлись настоящей лабораторией для изучения шансов и вероятностей.

Рассмотрим игры с применением таранных костей. В отличие от позднейших кубических костей они продолговатые, с двумя узкими и двумя широкими поверхностями. В играх обычно бросали сразу че­тыре кости. Шансы, что кость выпадет широкой стороной, конечно, выше, чем узкой. Поэтому было бы естественно ожидать, что узкая сторона должна приносить больше очков, чем широкая. Но сумма оч­ков, приносимых менее вероятными узкими сторонами — 1 на одной кости и 6 на другой, — приравнивалась тому, что приносили более ве­роятные широкие стороны, — 3 и 4. Результат же, называемый «Ве­нера», когда на вас смотрят все возможные игровые грани костей — 1, 3, 4, 6, — приносил максимум очков, хотя столь же вероятны ком­бинации 6, 6, 6, 6 или 1, 1, 1, 1, приносившие по правилам меньше очков⁵.

Кроме того, хотя было очевидно, что длинные серии выигры­шей или проигрышей менее вероятны, чем короткие, эти ожида­ния носили не количественный, а качественный характер: Аристо­тель говорил, что «...сделать это один или два раза сравнительно легко»⁶. И хотя в эти игры играли повсеместно и с диким азартом, никому не приходило в голову подсчитывать шансы.

Надо полагать, дело было в том, что греки вообще не проявляли интереса к экспериментированию; их занимали только теории и доказательства. Они, кажется, никогда не обсуждали возможность воспроизведения какого-либо явления достаточное для доказатель­ства гипотезы число раз, видимо, потому, что им была чужда мысль об упорядоченности событий на земле. Точность считалась монополией богов.

В отличие от  античности  во  времена  Ренессанса  каждый,  от ученого до изобретателя, от художника до архитектора, испытывал зуд исследований, экспериментирования и демонстрации результа­тов опыта. В этой интеллектуальной атмосфере кто-то из игроков должен был обратить внимание на регулярности, проявляющиеся при так называемой игре в длинную.

Такой игрок появился в XVI веке. Им оказался лекарь по име­ни Джироламо Кардано. Одной только репутации Кардано как азартного игрока, пытавшегося осмыслить закономерности игры, достаточно для упоминания его имени в истории освоения риска, но он проявил выдающиеся таланты и во многих других областях. Удивительно, что в наше время он сравнительно мало известен. Он был олицетворением Ренессанса⁷.

Кардано родился в Милане около 1500 года и умер в 1571 году. Он был современником Бенвенуто Челлини и, подобно Челлини, од­ним из первых знаменитостей, оставивших автобиографию. Свою книгу он назвал «De Vita Propria Liber» («Книга моей жизни»), и что это была за жизнь! Поистине, его любознательность была сильнее его самого. Характерно увлечение, с которым он, описывая собственную жизнь, обсуждает четыре выдающихся достижения своего времени: вступление в новую эру географических открытий, познакомивших европейцев с двумя третями земной поверхности, о которых древние ничего не знали, изобретение огнестрельного оружия, компаса и кни­гопечатания с использованием набора.

Кардано был худым, с длинной шеей, тяжелой нижней губой, бородавкой над глазом и таким громким голосом, что вызывал раз­дражение даже у друзей. По его собственному признанию, он стра­дал диареей, грыжей, болезнью почек, тахикардией и даже воспа­лением соска. Не без рисовки он пишет о себе: «Я был горяч, про­стодушен и падок на женщин», а также «хитер, силен, саркасти­чен, прилежен, дерзок, печален, вероломен, склонен к чародейству и колдовству, жалок, злобен, похотлив, непристоен, лжив, подобо­страстен, старчески болтлив».

Кардано был игрок из игроков. Он признавался в «неодолимой тя­ге к игорному столу и костям... Долгие годы... я играл не время от времени, но, стыдно сказать, каждый день». Он играл во всё — от ко­стей и карт до шахмат. Он зашел так далеко, что признавал благо­творность игры: «...в периоды потрясений и бедствий... я находил уте­шение в постоянной игре в кости». Кардано терпеть не мог непроше­ных советчиков и все знал о шулерских проделках, в частности осте­регался игроков, «которые натирали карты мылом, чтобы они легко скользили и были послушны в руках». Анализируя в своей книге ве­роятностные закономерности игры в кости, он не забывал осторожно оговориться: «...если игра ведется честно». Тем не менее ему приходилось проигрывать крупно и достаточно часто, чтобы заключить, что «лучший из возможных выигрышей — это отказ от игры». Он, кажет­ся, первым в истории взялся за серьезный анализ случайных игр.

Кардано был не только игроком и математиком «от случая к случаю», но и самым знаменитым врачом своего времени — его настойчиво стремились заполучить многие европейские дворы и Ватикан. Однако он не терпел придворные интриги и отклонял все высокие приглашения. Ему принадлежит первое клиническое опи­сание симптомов тифа, он писал о сифилисе и предложил новый метод операции грыжи. Он говорил, что «человек есть не что иное, как дух; если дух не в порядке, все плохо, если же он здоров, все остальное лечится просто», и был одним из первых пропагандистов купания и душа. Когда его в 1552 году пригласили в Эдинбург для лечения архиепископа Шотландского от астмы, он на основе своих знаний об аллергии порекомендовал пациенту набить перину не пе­рьями и пухом, а некрученым шелком, заменить кожаные наволоч­ки полотняными, а причесываться гребнем из слоновой кости. Перед отъездом из Милана в Эдинбург ему предложили за услуги ежеднев­ную плату в размере десяти золотых крон; когда же через сорок дней он покидал Эдинбург, благодарный пациент вручил ему 1400 крон, не считая дорогих подарков.

Кажется, Кардано был очень занятым человеком. Он опублико­вал 131 печатную работу, сжег, по его словам, еще 170, а после смер­ти оставил 111 неопубликованных рукописей. В его писаниях затра­гиваются самые разные вопросы, касающиеся математики, астро­номии, физики, состава мочи, зубов, жизни Девы Марии, гороско­па Иисуса Христа, морали, аморальности, жизни Нерона, музыки, снов. Его «De Subtilitate Rerum» («О сущности вещей») стала тог­дашним бестселлером и выдержала шесть изданий подряд; в ней обсуждаются научные и философские вопросы наряду с суевериями и загадочными историями.

У него было два сына, заставивших его испытать много горя. В «De Vita» Кардано пишет о старшем сыне Джамбаттисте, своем любимце, что он был «глух на правое ухо, с маленькими бесцветны­ми беспокойными глазами. На левой ноге у него было два пальца; третий и четвертый, если я не ошибаюсь, срослись с большим, обра­зуя гусиную лапу. Он был немного горбат...». Джамбаттиста женил­ся на девушке с подпорченной репутацией, которая была ему невер­на; по ее признанию, муж не был отцом ни одного из ее троих детей. После трех лет семейной жизни, ставшей для него адом, Джамбат­тиста приказал своему слуге приготовить пирог с мышьяком и дал его жене, которая тут же умерла. Кардано сделал все для спасения сына, но Джамбаттиста уже после освобождения из тюрьмы при­знался в убийстве жены. По пути к месту казни, где его обезглави­ли, палачи отрубили ему левую руку и пытали его. Младший сын, Альдр, постоянно обкрадывал своего отца и время от времени по­падал в тюрьму, где побывал не менее восьми раз.

У Кардано был молодой протеже, Лодовико Феррари, блестящий математик, какое-то время служивший секретарем у кардинала Мантуи. В возрасте 14 лет Феррари поселился у Кардано и скра­шивал его старость, называя себя «творением Кардано». Он защи­щал доказательства Кардано в нескольких диспутах с другими ма­тематиками, и многие авторитетные ученые считают, что ему при­надлежали многие идеи, приписываемые его учителю. Но Феррари не смог утешить Кардано, тяжело переживавшего трагедию соб­ственных сыновей. Темпераментный, щедро растрачивавший себя, Феррари потерял все пальцы на правой руке в трактирной ссоре и в 43 года был отравлен то ли сестрой, то ли ее любовником.

Главный математический труд Кардано «Ars Magna» («Великое искусство») вышел в свет в 1545 году; к этому времени Коперник уже опубликовал описание гелиоцентрической планетной системы, а Везалий закончил свой трактат по анатомии. Пятью годами рань­ше в «Основах искусств» («Grounde of Artes») англичанина по имени Роберт Рикорд впервые появились символы «+» и «-». Сем­надцать лет спустя в английской же книге под названием «Оселок остроумия» («Whetstone of Witte») впервые был использован сим­вол «=», потому что «на свете не может быть большей идентично­сти, чем у пары параллельных прямых»⁸.

«Ars Magna» была первой основательной работой эпохи Ренес­санса по алгебре. В ней Кардано углубляется в решение кубиче­ских и квадратных уравнений и даже ломает голову над квадрат­ными корнями отрицательных чисел, неизвестных до использова­ния цифровой системы счисления и все еще остающихся для мно­гих тайной за семью печатями⁹. Хотя система алгебраических ус­ловных обозначений в то время еще не устоялась и каждый автор произвольно пользовался собственной символикой, Кардано ввел ис­пользование символов а, & и с, ныне привычных для всех, изучав­ших алгебру. Удивительно, но он не сумел решить головоломку Пацциоли об игре в balla. Несмотря на все старания, ему, как и другим математикам его времени, это не удалось.

Игре посвящен трактат Кардано «Liber de Ludo Aleae» («Книга о случайных играх»). Слово aleae имеет отношение к игре в кости. Aleatorius происходит от того же корня и относится к случайным играм вообще. Эти слова дошли до нас в слове «aleatory», обознача­ющем события с неопределенным исходом. Так элегантная латынь невольно объединила для нас понятия игры и неопределенности.

В «Liber de Ludo Aleae» были предприняты первые серьезные попытки разработать статистические принципы теории вероятнос­тей. Но само слово «вероятность» в тексте не встречается. В назва­нии, которое Кардано дал своей книге, и большей части текста ис­пользуется слово «шансы». Латинские корни слова probability*(Вероятность, правдоподобность. — Примеч. переводчика.) представлены комбинацией probare, что означает 'испытывать, пробовать' или 'проявлять себя', и His, что означает 'способность быть'; именно в этом смысле могло бы оказаться на поверку вер­ным или стоящим рассмотрения предположение, что Кардано мог знать это слово. Понимание связи между вероятностью и случайно­стью, составляющей суть случайных игр, еще около ста лет после опубликования «Liber de Ludo Aleae» не смогло стать достоянием обыденного мышления.

По утверждению канадского философа Яна Хакинга (Hacking), латинские корни слова «вероятность» означают нечто вроде 'заслуживающее проверки'¹⁰. Это значение слова сохранялось дол­гое время. В качестве примера Хакинг приводит отрывок из рома­на Даниэля Дефо «Роксана, или Удачливая любовница», датиро­ванного 1724 годом. Леди, убедившая состоятельного мужчину за­ботиться о ней, именно в этом смысле употребляет слово probable, когда говорит: «Я тогда впервые увидела, что значит вести ком­фортабельную жизнь, и это стоило испытать (it was a very probable way)». Это значит, что она создала себе образ жизни, соответст­вующий благосостоянию ее покровителей; как сказал Хакинг, она «сумела выбраться из той грязи, в которой начинала»¹¹.

Хакинг приводит и другой пример толкования этого слова¹². Галилео назвал теорию Коперника о вращении Земли вокруг Солн­ца improbable (неправдоподобной, невероятной), потому что она противоречит тому, что люди могут видеть собственными глаза­ми, — Солнце ходит вокруг Земли. Теория была неправдоподоб­ной, потому что не находила подтверждения. Менее столетия спус­тя, используя новое (но все же не новейшее) значение слова, не­мецкий философ Лейбниц охарактеризовал гипотезу Коперника как «несравненно более вероятную». Для Лейбница, пишет Хакинг,  «вероятность определяется через очевидность и разум»¹³. На са­мом деле в немецком слове wahrscheinlich* (Вероятный. — Примеч. переводчика.) хорошо отображается смысл понятия: оно переводится как «кажущееся правдой, прав­доподобное».

Вероятность всегда несет в себе двоякий смысл: с одной стороны, это взгляд в будущее, с другой — истолкование прошлого; с одной стороны, речь идет о наших предположениях, с другой — о том, что мы действительно знаем. Эта двуединость понятия пронизыва­ет все, о чем пойдет речь в этой книге.

В первом смысле вероятность означает степень правдоподобия или приемлемости мнения — хороший взгляд на вероятность. Уче­ные обозначают такое понимание термином «эпистемологический», т. е. не поддающийся до конца анализу и пониманию, находящийся на границе познаваемого и непознаваемого.

Понимание этого первого аспекта возникло значительно рань­ше, чем идея об измерении вероятности. Старое понимание разви­лось с течением времени из идеи проверки: насколько можно при­нимать на веру то, что мы знаем? В случае Галилео вероятность была оценкой того, насколько можно верить тому, о чем нам ска­зали. Использование этого понятия у Лейбница ближе к современ­ному: насколько можно доверять собственному восприятию.

Этот более современный подход не мог получить развития, по­ка математики не разработали теоретическую концепцию частоты событий в прошлом. Кардано мог первым наметить статистический подход к теории вероятностей, но характерное для его времени и психологии игрока отношение к жизни обусловило интерес толь­ко к субъективно-волевому аспекту вероятностей, и такое пони­мание не стыковалось с тем, что он пытался осуществить на пути измерения.

Кардано осознавал, что он стоит перед чем-то значительным. В ав­тобиографии он, оценивая «Liber de Ludo Aleae» как одно из своих главных достижений, отметил, что «открыл разум для тысячи пора­зительных фактов». Заметьте слова «разум для». Упоминаемые в книге факты о частоте исходов были известны каждому игроку, но не было теории, объясняющей эти частоты. Кардано высказывает характерную для теоретика жалобу: «...эти факты много дают для понимания, но вряд ли что-либо для самой игры».

В автобиографии Кардано сообщает, что написал «Liber de Ludo Aleae» в 1525 году, будучи еще молодым человеком, и переписал за­ново в 1565-м. При экстраординарной оригинальности книга чрезвычайно беспорядочна. Она собрана из бесчисленных черновых на­бросков и решений проблем, которые появляются в одном месте, перемежаются с решениями, базирующимися на существенно от­личных методах, описанных в другом месте. Отсутствие какой-ли­бо системы в использовании математических символов страшно за­трудняет понимание текста. Работа не публиковалась при жизни Кар-дано. Она была найдена среди рукописей после его смерти и впервые опубликована в Базеле только в 1663 году. К этому времени в тео­рии вероятностей был достигнут значительный прогресс силами дру­гих ученых, которые не были знакомы с направленными к той же цели усилиями Кардано.

Если бы эта работа не пролежала целое столетие в безвестности, содержащиеся в ней обобщения, касающиеся вероятностей в играх, могли бы значительно ускорить развитие математики и теории ве­роятностей. Здесь впервые сформулировано общепринятое теперь представление вероятности через отношение числа благоприятных исходов к «совокупности» (circuit), то есть к общему числу воз­можных исходов. Например, когда мы говорим, что шансы выбра­сывания орла или решки составляют ⁵⁰/5о> ^эт° значит, что орел выпадает в одном из двух равновозможных случаев. Вероятность достать даму из колоды карт составляет Vis> поскольку в колоде из 52 карт имеется четыре дамы; вероятность же достать даму пик равна !/52' поскольку в колоде только одна дама пик.

Последуем за Кардано в его рассмотрении вероятностей различ­ных результатов бросков при игре в кости¹'. В главе 15 его «Liber de Ludo Aleae», в параграфе, озаглавленном «О выбрасывании од­ной кости», он проясняет некоторые общие принципы, ранее ни­кем не рассматривавшиеся:

Частоты появления значений, относящихся к каждой из двух половин числа граней, одинаковы; отсюда шансы, что данное значение выпадет в трех бросках из шести, равны шансам, что одно из трех заданных значений выпадет в одном броске. Например, я могу легко выбросить один, три или пять, так же как два, четыре или шесть. Ставки должны соответствовать этому равенству, если игра ведется честно¹⁴.

Далее Кардано продолжает вычислять вероятность того, что в од­ном броске выпадет одно из двух чисел, скажем 1 или 2. Ответ: один шанс из трех, или 33%, поскольку речь идет о двух исходах из шести возможных. Он также подсчитывает вероятность повто­рения благоприятных исходов при бросании одной кости. Вероят­ность того, что в двух бросках подряд выпадет 1 или 2, равна ¹/д, то есть квадрату одного шанса из трех, или ¹/₃, умноженной сама на себя. Вероятность того, что в трех бросках подряд выпадет 1 или 2, равна ¹/₂7, или */з ^x Vs ^x Va» ^a вероятность выбросить 1 или 2 в четырех бросках подряд равна ¹/₃ в четвертой степени.

Кардано продолжает определять вероятность выбросить 1 или 2 с двумя костями вместо одной. Если шансы, что в одном броске
выпадет 1 или 2, оцениваются как один к трем, интуиция под­
сказывает, что при бросании двух костей они удвоятся и достиг­
нут 67%. Правильным ответом будет соотношение пять к девяти,
или 55,6%. Действительно, при выбрасывании двух костей есть
один шанс из девяти, что 1 или 2 выпадут сразу на двух костях
в одном броске, но вероятность того, что на каждой кости выпа­
дет 1 или 2, уже подсчитана ранее; значит, мы должны вычесть
1/9 из 67%,  предсказанных  нами на основе интуиции.  Отсюда
1/3 + 1/3 - 1/9 = 5/9.

Далее Кардано углубляется в игры с большим числом костей и большим числом успешных исходов при большем числе бросков. В конце концов это исследование приводит его к обобщению за­конов о шансах, которое превращает экспериментальный резуль­тат в теорию.

Он рассматривает принципиальный переход от бросков одной кости к броскам с двумя костями. Еще раз, но более детально, проследим за его рассуждениями. Хотя две кости имеют в сумме двенадцать граней, Кардано в случае двух костей не определяет вероятность выбрасывания 1 или 2, исходя из предположения, что число возможных исходов равно двенадцати. Он замечает, что игрок может, например, выбросить 3 на первой кости и 4 на второй, но точно так же он может выбросить 4 на первой кости и 3  на второй.

Число возможных комбинаций, образующих совокупность — об­щее число возможных исходов, — оказывается значительно боль­шим, чем общее число граней на двух костях. Заметив решающую роль комбинаций чисел, Кардано сделал гигантский шаг на пути разработки вероятностных законов.

Игра в крепе дает полезную иллюстрацию важности комбина­ций в вычислении вероятностей. Как продемонстрировал Кардано, бросание пары шестигранных костей дает не одиннадцать (от двух до двенадцати), а тридцать шесть возможных комбинаций, от «зме­иных глаз» (один-один) до «вагончиков» (шесть-шесть).

Семерку, ключевое число в крепсе, выбросить легче всего. Она в шесть раз более вероятна, чем дубль-один или дубль-шесть, и в три раза более вероятна, чем одиннадцать, другое ключевое число. Шесть возможных исходов, дающих семерку, суть следующие: 6 + 1,5 + 2, 4 + 3, 3 + 4, 2 + 5и 1+6; заметьте, что эти исходы есть не что иное, как варианты представления сумм трех различных комбина­ций — 5 и 2, 4 и 3, 1 иб. Одиннадцать получается только в двух исходах, потому что образуется из двух вариантов представления суммы одной комбинации: 5 + 6 и 6 + 5. Есть только по одному варианту для представления дублей — от один-один до шесть-шесть. Игроки в крепе повысят свой класс, если запомнят следующую таблицу:

Вероятность каждой суммы при бросании пары костей

В триктрак, другой игре, в которой игроки бросают две кости, числа на каждой кости могут или складываться, или рассматри­ваться порознь. Это значит, что, если, например, брошены две кос­ти, 5 может получиться пятнадцатью разными путями:

5    + 1

5    + 2

5    + 3

5    + 4

5    + 5

                                                         5   + 6

1  +                                              5

2  +                                              5

3  +                                              5

4  +                                              5

6                                                 + 5
1+4
4 +                                                    1

2  + 3

3  + 2

Вероятность выбросить пятерку равна ¹⁵/з6> или 42%¹⁵.

Здесь важна семантика. По определению Кардано, вероятность некоего исхода есть отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов. Шансы (odds) некоего исхода есть отношение числа благоприятных исходов к числу неблагопри­ятных исходов. Шансы, разумеется, зависят от вероятности, и их удобнее использовать при заключении пари.

Если вероятность выбросить пятерку в триктрак равна 15 удач­ным броскам на каждые 36 бросков, то шансы выбросить пятерку равны отношению 15 к 21. Если вероятность выбросить 7 в крепсе равна одному удачному на каждые шесть бросков, то шансы выбро­сить число, отличное от 7, равны 5 к 1. Это значит, что вы должны ставить не более одного доллара за то, что в следующем броске выпа­дет 7, если ваш партнер поставил 5 долларов против. При подбрасы­вании монеты орел выпадает с вероятностью один к двум. Поскольку шансы выбросить орел и решку равны, никогда не ставьте больше, чем ваш партнер по игре. Если шансы в заезде на бегах оцениваются как 1 к 20, теоретическая вероятность того, что ваша кляча победит, оценивается как 1 из 21, или 4,8%, т. е. менее 5%.

Мы никогда не узнаем, писал ли Кардано «Liber de Ludo Aleae» как учебник для игроков или как теоретический труд по теории вероятностей. Учитывая место игры в его жизни, правила игры могли послужить только поводом для этой работы, но мы не берем­ся с уверенностью это утверждать. Игра — идеальная лаборатория для проведения экспериментов по квантификации риска. Необык­новенная интеллектуальная любознательность Кардано и набор ма­тематических принципов, которые он имел смелость охватить в «Ars Magna», позволяют предположить, что он мог искать нечто большее, чем путь к выигрышу за игорным столом.

Кардано начал «Liber de Ludo Aleae» в духе экспериментально­го исследования, а закончил созданием теоретических основ ком­бинаторики. Более того, оригинальные взгляды на роль вероятнос­ти в случайных играх, не говоря уже о математических средствах, примененных Кардано для решения поставленных задач, позволя­ют считать «Liber de Ludo Aleae» первой в истории попыткой из­мерения риска. Именно благодаря блестящим достижениям Карда­но возникла сама идея и возможность управления риском. Каковы бы ни были мотивы написания книги, она стала выдающимся про­изведением, полным оригинальности и математической смелости.

Но главным героем этой истории является не Кардано, а время, в которое он жил. Возможность открыть то, что открыл он, суще­ствовала тысячи лет. И индо-арабская система счисления достигла Европы по меньшей мере за триста лет до написания «Liber de Ludo Aleae». He хватало свободы мысли, страсти к эксперименту и стремления взять под контроль будущее, которые были пробужде­ны Ренессансом.

Последним великим итальянцем, бившимся над проблемами ве­роятности, был Галилео, родившийся, как и Шекспир, в 1564 году, когда Кардано уже состарился¹⁶. Подобно очень многим своим со­временникам, Галилео обожал экспериментировать и не упускал ни одного повода использовать для эксперимента все, что попадалось ему на глаза. Даже собственный пульс он использовал для измере­ния времени.

Однажды в 1583 году во время службы в Пизанском кафед­ральном соборе Галилео обратил внимание на лампу, свисавшую с потолка. Порывы сквозняка раскачивали ее то сильнее, то сла­бее. Он заметил, что все колебания совершались за один и тот же промежуток времени независимо от величины амплитуды. Резуль­татом этого случайного наблюдения стало использование маятника для производства часов. За тридцать лет среднесуточная ошибка таких часов была снижена с пятнадцати минут до десяти секунд и менее. Это был союз времени и технологии. Таков был стиль жиз­ни Галилео.

Около сорока лет спустя, уже будучи Первым и Экстраординар­ным Математиком Пизанского университета и Математиком Его светлости Козимо II, Великого герцога Тосканского, он написал короткое эссе об игре, «чтобы угодить ему, приказавшему описать, что мне пришло в голову об этой проблеме»¹⁷. Эссе называлось «Sopra le Scoperte del Dadi» («Об игре в кости»). Использование итальянского вместо латыни указывает на то, что Галилео не слишком уважал тему своей работы и считал ее не стоящей серь­езного обсуждения. Создается впечатление, что он без энтузиазма работал над очередным малопрестижным заданием, полученным от хозяина, Великого герцога, пожелавшего увеличить свои шансы за игорным столом.

При написании этого эссе Галилео удалось использовать работу Кардано, хотя до ее публикации оставалось еще сорок лет. Фло­ренс Найтингейл Давид (David), историк и статистик, предполо­жил, что Кардано так долго размышлял над этими проблемами, что непременно должен был обсуждать их с друзьями. Более того, он был популярным лектором. Так что математики имели возмож­ность хорошо познакомиться с содержанием «Liber de Ludo Aleae», даже не читая саму книгу¹⁸.

Подобно Кардано, Галилео занялся анализом результатов, по­лучаемых при бросании одной или нескольких костей, описал об­щие выводы о частоте различных комбинаций и типы исходов. Между прочим, он утверждал, что использовал методологию, до­ступную любому математику. В частности, основанная на понятии случайности концепция вероятности настолько прочно утвердилась к 1623 году, что Галилео полагал, что он здесь мало что способен добавить.

Однако еще оставалось широкое поле для открытий. Идеи о ве­роятности и риске развивались быстрыми темпами, а интерес к этим проблемам через Францию распространился на Швейцарию, Германию и Англию.

Франция, например, в течение XVII и XVIII веков испытала на­стоящий математический бум, герои которого пошли значительно дальше экспериментов Кардано с бросанием костей. Успехи вычис­лительных методов и алгебры привели к бурному развитию абст­рактных математических понятий и обеспечили обоснование мно­гих практических приложений вероятности — от страхования и инвестирования до таких, казалось бы, далеких от математики предметов, как медицина, наследственность, поведение молекул, стратегия и тактика военных действий и предсказание погоды.

Первым шагом была разработка измерительных методов, при­годных для определения степени упорядоченности, которая может скрываться в неопределенном будущем. Попытки разработать такие методы впервые были предприняты еще в XVII веке. В 1619 году, например, пуританский священник Томас Гатакер опубликовал на­шумевшую работу «О природе и использовании жребия» («Of the Nature and Use of Lots»), в которой утверждал, что исход случайных игр определяет не Бог, а закон природы вещей, или естественный закон¹⁹. К концу XVII века, спустя почти сто лет после смерти Кар-дано и менее чем через пятьдесят лет после смерти Галилео, были решены важные проблемы теории вероятностей. Следующим шагом было решение вопроса о том, как люди осознают вероятности и реа­гируют на них в реальной жизни. Этим в конечном счете и занима­ются теории управления риском и принятия решений, и здесь ба­ланс между объективными данными и волевыми качествами при­обретает решающее значение.

Глава 4

Французские знакомства

Ни Кардано, ни Галилео не заметили, что они вплотную по­дошли к формулировке законов вероятности, являющихся главным орудием управления риском. Кардано сделал на основе своих экспериментов ряд весьма важных обобщений, но ин­тересовала его не столько теория вероятностей, сколько оптимиза­ция игры, а Галилео даже теория игры не особо интересовала.

Галилео умер в 1654 году. Двенадцать лет спустя три француза осуществили наконец гигантский прорыв в таинственный мир нео­пределенности, и затем меньше чем за десять лет рудиментарная идея превратилась в хорошо разработанную теорию, расчистившую путь замечательным практическим достижениям. Голландец Гюй­генс в 1657 году опубликовал ставший очень популярным учебник по теории вероятностей (который в 1664 году внимательно прочел и отметил Ньютон); примерно в это же время Лейбниц размышлял над возможностью применения теории вероятностей к решению юридических проблем; а в 1662 году монахи парижского монастыря Пор-Рояль выпустили новаторскую работу по философии и вероят­ности под названием «La logique» («Логика»). В 1660 году англи­чанин Джон Грант опубликовал результаты своего анализа демо­графических данных на основе статистики смертности, взятой им из записей в церковноприходских регистрационных книгах. К кон­цу 1660 года в голландских городах, традиционно финансировавших городские нужды за счет продажи пожизненной ренты, на этой ос­нове была создана действенная система страхования. К 1700 году, как мы уже отмечали ранее, и английское правительство стало по­крывать свой бюджетный дефицит за счет продажи полисов по­жизненной ренты.

А началось все со странной троицы французов, которые, глядя на игровой стол, заложили теоретические основы измерения веро­ятности. Одним из них был Блез Паскаль, блистательный молодой повеса, который стал впоследствии религиозным фанатиком и кон­чил полным отрицанием ценности разума. Другой, Пьер Ферма, преуспевающий адвокат, для которого математика была побочным занятием. Третьим был аристократ шевалье де Мере, совмещавший свое увлечение математикой с неудержимой страстью к азартным играм; он вошел в историю тем, что сформулировал задачу, ре­шение которой привело двух остальных на тропу открытий.

Ни молодой повеса, ни адвокат не нуждались в экспериментах для подтверждения своих гипотез. В отличие от Кардано они с пер­вых шагов работы над теорией вероятностей пользовались индук­тивным методом. Теория позволила измерять вероятности в чис­ленном виде и отказаться от принятия решений на основе субъек­тивных мнений.

Склонный к философствованию знаменитый математик Пас­каль родился в 1623 году, когда Галилей заканчивал эссе «Об игре в кости». Рожденный во время религиозных войн XVII столетия, он провел полжизни в метаниях между блистательной математи­ческой карьерой и уходом в религиозную экзальтацию, по суще­ству своему антиинтеллектуальную. Хотя он был замечательным математиком и гордился своими достижениями как «мастера гео­метрии», самой сильной страстью его жизни оказались в конечном итоге религиозные переживания¹.

Паскаль начинал жизнь как вундеркинд. Очарованный форма­ми и фигурами мальчик самостоятельно доказал большинство тео­рем евклидовой геометрии, заполняя геометрическими построени­ями плитки пола детской комнаты. В возрасте 16 лет он написал работу, посвященную коническим сечениям, поразившую великого Декарта.

Увлечение маленького Блеза математикой сослужило хорошую службу его отцу, который тоже был в своем роде математиком и вел обеспеченную жизнь в качестве сборщика, а если говорить точнее, откупщика налогов. Откупщик налогов ссужал деньгами монарха, подобно фермеру, засевающему поле, — и затем собирал деньги с населения, как тот же фермер собирает жатву, в надежде собрать больше, чем посеял.

Когда Паскаль был еще совсем мальчишкой, он изобрел и за­патентовал счетную машину для облегчения скучной работы М. Паскаля по ежедневному подведению баланса. Это хитроумное механическое устройство с приводами и колесами, которые вра­щались взад-вперед, складывая и вычитая, было предшественни­ком современных электронных калькуляторов. Юный Паскаль выполнял на своей машине также умножение и деление и даже начал разрабатывать конструкцию для извлечения квадратных корней. К сожалению, в течение последующих 250 лет клерки и бухгалтеры не могли использовать эту машину из-за очень высо­кой стоимости.

Заметив гениальные способности своего сына, отец Блеза, когда тому исполнилось четырнадцать лет, ввел его в избранный кружок, еженедельно собиравшийся для дискуссий в доме иезуитского свя­щенника по имени Марен Мерсенн, расположенном недалеко от Королевской площади в Париже. В первой половине XVII века дом аббата Мерсенна был центром мировой науки и математики. Не до­вольствуясь организацией еженедельных дискуссий с участием крупнейших ученых, аббат своим неровным почерком вел обшир­нейшую переписку с учеными всей Европы, сообщая всем и каж­дому обо всем, что было нового и интересного².

В отсутствие ученых обществ, профессиональных журналов и других средств обмена идеями и информацией Мерсенн внес цен­ный вклад в развитие и распространение новых научных теорий. Парижская Академия наук и Лондонское Королевское общество, основанные лет через двадцать после его смерти, были прямыми наследниками его кружка.

Хотя ранние работы Блеза Паскаля по геометрии и алгебре произвели большое впечатление на сильных математиков, которых он встретил в кружке Мерсенна, у него скоро возникли прямо про­тивоположные интересы. В 1646 году старший Паскаль поскольз­нулся на льду и сломал бедро; костоправы, приглашенные ухажи­вать за ним, оказались членами ордена янсенистов. Эти люди ве­рили, что единственный путь к спасению лежит через аскетизм, жертвенность, смирение и самоограничение. Они проповедовали, что человек, который не стремится неустанно ко все более высо­кому духовному очищению, неминуемо скатится в бездну греха. Утверждая примат чувства и веры, они третировали разум, считая его помехой на пути к искуплению.

Залечив бедро Паскаля-отца, янсенисты в течение трех месяцев обрабатывали душу Паскаля-сына, который с энтузиазмом воспри­нял их доктрину. Теперь он избегал и математики, и других наук, и всех развлечений своей прежней парижской жизни. Религия по­глотила его целиком. Объясняя свое состояние, он смог только сказать: «Кто поместил меня сюда? По чьему повелению и предпи­санию это место и это время предназначены мне? Вечная тишина этого бесконечного пространства приводит меня в ужас»³.

Ужас неожиданно поразил его и с другой стороны. В 1650 году в возрасте 27 лет он стал жертвой частичного паралича, его пре­следовали страшные головные боли, и было трудно глотать пищу. В качестве лечения доктора предписали ему встряхнуться и вер­нуться к прежней рассеянной жизни. Не теряя времени, Паскаль последовал их советам. После смерти отца он сказал своей сестре: «Не будем горевать, подобно язычникам, не имеющим надежды»⁴. Он встряхнулся настолько, что даже превзошел свой прежний раз­гульный образ жизни, и стал постоянным посетителем парижских игорных домов.

Вернувшись к мирской суете, Паскаль возобновил свои иссле­дования, касающиеся математики и смежных дисциплин. В одном из экспериментов он, вопреки господствовавшему еще со времен Аристотеля мнению, будто природа боится пустоты, доказал суще­ствование вакуума. В ходе этого эксперимента он продемонстриро­вал, что атмосферное давление может быть измерено на разных высотах с помощью ртути, заключенной в трубку, из которой вы­качан воздух.

Примерно в это же время состоялось знакомство Паскаля с ше­валье де Мере, который гордился своими математическими способ­ностями и умением просчитывать шансы в казино. Как-то в конце 1650 года в письме к Паскалю он хвастал: «Я открыл в математике вещи весьма необычные, о которых лучшие ученые прежних времен никогда не помышляли и которыми были поражены лучшие мате­матики Европы»⁵.

Кажется, он сумел произвести впечатление на самого Лейбница, отозвавшегося о шевалье как о «человеке острого ума, который был одновременно игроком и философом». Правда, в другой раз Лейбниц заметил: «Я почти смеялся над важничаньем шевалье де Мере в его письме к Паскалю»⁶.

Паскаль согласился с Лейбницем. «У месье де Мере, — писал он своему коллеге, — хорошая голова, но он не геометр, а это, са­ми понимаете, большой недостаток»⁷. Здесь Паскаль высказался как профессионал, которому приятно уколоть дилетанта. Во вся­ком случае, он не особенно высоко ставил математические дости­жения шевалье⁸.

Однако именно от Паскаля мы узнаём об интуитивном понима­нии вероятности, которым обладал де Мере. Играя, он ставил вновь и вновь на комбинации, приносившие ему небольшие выигрыши, которые его противники считали чисто случайными. Согласно Пас­калю, он знал, что если метнуть одну кость четыре раза, то вероят­ность увидеть шестерку превысит 50%, а точнее — 51,77469136%. Его стратегия заключалась в том, чтобы выигрывать помалу при большом числе бросков, избегая делать редкие крупные ставки. Эта стратегия требовала много денег, потому что шестерка могла довольно долго не выпадать и приходилось удлинять серию бросков, дожида­ясь, пока средний процент появления шестерки превысит 50% ⁹.

Де Мере пытался варьировать свою систему, ставя на то, что sonnez, или дубль-шесть, в 24 бросках двух костей должен выпа­дать с вероятностью, большей 50%. На этом он потерял довольно много денег, пока не выяснилось, что эта вероятность при 24 брос­ках составляет только 49,14%. Если бы он ставил на 25 бросков, при которых вероятность дубль-шесть составляет 50,55%, он мог бы разбогатеть. История освоения стратегии риска окрашена не только в красный цвет, но и в черный.

До встречи с Паскалем шевалье неоднократно обсуждал со мно­гими французскими математиками задачу об очках — как два иг­рока в balla должны разделить банк в случае прекращения нео­конченной игры, однако никто не смог дать ему вразумительный ответ.

Хотя эта задача заинтересовала Паскаля, он не захотел решать ее самостоятельно. В наши дни такая проблема стала бы темой об­суждения для группы специалистов на ежегодном семинаре одного из научных обществ. Во времена Паскаля такой форум был невоз­можен. В лучшем случае небольшая компания ученых могла обсу­дить проблему в интимной обстановке гостиной аббата Мерсенна, но обычно в таких ситуациях прибегали к личной переписке с другими математиками, которые могли подсказать что-либо полезное для решения задачи. В 1654 году Паскаль обратился к Пьеру де Кар-кави, члену кружка аббата Мерсенна, который свел его с тулузским адвокатом Пьером де Ферма.

Вряд ли Паскаль мог найти лучшего партнера для решения этой задачи. Ферма был феноменально образованным человеком¹⁰. Он говорил на всех основных европейских языках, на некоторых из них даже писал стихи и составлял обширные комментарии к греческим и римским авторам. Кроме того, он обладал редкостным талан­том математика. Независимо от Декарта он изобрел аналитическую геометрию, внес большой вклад в раннее развитие численных мето­дов, проводил исследования, направленные на определение веса Земли, изучал оптические явления, в частности рефракцию свето­вых волн. В ходе оказавшейся весьма продолжительной переписки с Паскалем он внес значительный вклад в теорию вероятностей.

Но коронные достижения Ферма относятся к теории чисел — анализу структурных соотношений каждого числа с остальными. Эти соотношения порождают бесчисленные головоломки, некоторые из которых не нашли решения и по сей день. Греки, например, об­наружили то, что они назвали совершенными числами, — это числа, которые равны сумме всех своих делителей, за исключением их са­мих, подобные 6 = 1 + 2 + 3. Следующее после 6 совершенное чис­ло 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Третье такое число — это 496, следую­щее — 8128. Пятое совершенное число — 33 550336.

Пифагор открыл то, что он называл дружественными числами или «вторыми я» чисел, представляющие собой суммы всех дели­телей, отличных от самого числа. Все делители числа 284, то есть 1, 2, 4, 71 и 142, в сумме дают 220; все делители числа 220, то есть 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110, в сумме дают 284.

Никому не удалось установить правила для нахождения всех существующих совершенных чисел или всех дружественных чисел, как никто не сумел вывести формулы рядов, в которых они следу­ют друг за другом. С аналогичными трудностями мы сталкиваемся при рассмотрении простых чисел, подобных 1, 3 или 29, каждое из которых делится только на 1 и на самого себя. С одной стороны, Ферма считал, что он получил формулу вычисления простых чи­сел, но, с другой стороны, он предупреждал, что не смог теорети­чески доказать ее всеобщность. Формула, которую ему удалось найти, выдает 5, затем 17, затем 257 и, наконец, 65 537 — всё простые числа, а следующим числом, получаемым на основе его формулы, оказывается 4 294 967 297.

По-видимому, наибольшую славу Ферма принесло нацарапанное на полях «Арифметики» Диофанта утверждение, известное как ве­ликая теорема Ферма. Несмотря на трудность его доказательства, суть этого утверждения изложить несложно.

Греческий математик Пифагор впервые показал, что квадрат наи­большей стороны прямоугольного треугольника, гипотенузы, равен сумме квадратов двух других его сторон. Диофант, один из древней­ших исследователей квадратных уравнений, написал сходное выра­жение: х⁴ + у* + г⁴ = и². «Почему, — спрашивает Ферма, — Диофант не искал две [вместо трех] четвертых степени, дающих в сумме квадрат некоего числа? Дело в том, что это невозможно, и мой ме­тод дает возможность доказать это со всей строгостью»¹¹. Ферма заметил, что Пифагор был прав, написав а² + Ь² = с², но а³ + Ь³ не будут равны с³ и ни для одного показателя степени, большего чем 2, такое равенство не будет выполняться: теорема Пифагора верна толь­ко для квадратов.

И затем Ферма написал на полях книги: «У меня есть прекрас­ное доказательство этого утверждения, но здесь негде его запи­сать»¹². Этой короткой фразой он ошарашил математиков, которые вот уже 350 лет пытаются найти теоретическое доказательство утверждения, получившего многочисленные эмпирические подтверж­дения. В 1993 году английский математик Эндрю Уайлс (Wiles) заявил, что он решил эту головоломную задачу после семи лет ра­боты в Принстоне. Его результаты были опубликованы в «Annals of Mathematics» в мае 1995 года, но математики всё еще спорят относительно того, что он, собственно, получил.

Великая теорема Ферма представляет собой скорее курьез, чем постижение окружающего мира. А вот решение, которое Ферма и Паскаль разработали для задачи о разделе банка в незавершенной игре, до сих пор приносит пользу обществу в качестве краеуголь­ного камня современной системы страхования и других форм уп­равления риском.

Решение задачи об очках основывается на том, что игрок, опе­режающий противника в момент остановки игры, имеет больше шансов на победу, если игра продолжится. Но насколько больше? Насколько малы шансы отстающего игрока? Как, в конце концов, перекинуть мост от этой задачи к науке прогнозирования?

Переписка Паскаля и Ферма, которую они вели по этому по­воду в 1654 году, обозначила эпохальное событие в истории мате­матики и теории вероятностей* ( Эта переписка в полном объеме, переведенная на английский язык, опубликована в: [David, 1962, Приложение 4].). Удовлетворяя любопытство, про­явленное к этой старой проблеме шевалье де Мере, они создали си­стематический метод анализа ожидаемых исходов. Поскольку мо­жет произойти больше вещей, чем происходит на самом деле, Пас­каль и Ферма предложили процедуру определения вероятности каждого из возможных результатов при допущении, что исходы могут быть оценены математически.

Они подошли к проблеме с разных позиций. Ферма обратился к чи­стой алгебре. Паскаль оказался более изобретательным: он использовал геометрическую форму для представления алгебраических структур. Его методология проста и приложима к широкому спектру проблем теории вероятностей.

Основная математическая идея, стоящая за этим геометрическим представлением алгебраических соотношений, зародилась задолго до Паскаля и Ферма. Омар Хайям обсуждал ее примерно на 450 лет раньше. В 1303 году китайский математик Ху Шайчи, явно не пре­тендуя на оригинальность, подошел к проблеме с помощью способа представления, который он называл «правдивое зеркало четырех элементов». Кардано тоже знал об этом методе¹³.

Правдивое зеркало Ху приобрело известность как треугольник Паскаля. «Пусть кто-нибудь попробует утверждать, что я не сказал ничего нового, — с гордостью пишет Паскаль в автобиографии. — Новшеством является трактовка предмета. Когда мы играем в тен­нис, мяч у нас общий, но один из нас играет лучше»¹⁴.

1

1    1

121

1331

14641

1      5      10   10   5      1

1      6     15   20    15   6      1

С первого взгляда на треугольник Паскаля рябит в глазах, но его структура достаточно проста: каждое число равно сумме двух чисел, расположенных над ним справа и слева.

Вероятностный анализ начинается с вычисления числа возмож­ных ситуаций, обеспечивающих определенный исход некоего собы­тия — circuit Кардано* (См.главу 3, стр. 68. — Примеч. переводчика.). Именно эта совокупность и представлена последовательностью чисел в каждой строке треугольника Паска­ля. Первая строка представляет вероятность события, которое не может не произойти. Здесь возможен только один исход с нулевой неопределенностью; это, по сути, не относится к вероятностному анализу. Вторая строка уже представляет вероятностную ситуацию с шансами 50 на 50: вероятность исхода в ситуации, подобной рож­дению мальчика или девочки в семье, планирующей иметь только одного ребенка, или вероятность того, что при одном броске моне­ты вам выпадет именно орел или решка. При наличии только двух возможных исходов результат может быть тот или иной: мальчик или девочка, орел или решка; вероятность рождения мальчика, а не девочки или выпадения орла, а не решки равна 50%.

Рассмотрим в том же духе остальные строки треугольника. Тре­тья строка моделирует ситуацию с семьей, в которой двое детей. Возможны четыре варианта: один шанс за двух мальчиков, один шанс за двух девочек и два шанса за то, что в семье есть и маль­чик, и девочка — мальчик старше и мальчик младше девочки. Те­перь в конечном счете один мальчик (или одна девочка) появляют­ся в трех из четырех исходов, и, таким образом, вероятность нали­чия мальчика (или девочки) в семье с двумя детьми равна 75%, вероятность наличия мальчика и девочки в одной такой семье рав­на 50%. Очевидно, что процесс зависит от комбинаций чисел, ко­торые были отмечены в работе Кардано, правда еще не опублико­ванной к тому времени, когда Паскаль взялся за решение задачи.

Этот же метод анализа приводит к решению задачи об очках. Рас­смотрим вместо предложенной Пацциоли игры в balla бейсбол. Како­ва вероятность того, что ваша команда победит в World Series*(Первенство США по бейсболу. — Примеч. переводчика.) после проигрыша первого матча? Если мы, как в'случайных играх, пред­положим, что две команды играют одинаково, задача оказывается идентичной задаче об очках, которую решали Ферма и Паскаль¹⁵.

Допустим, вторая команда уже выиграла одну игру. Каково чис­ло разных последовательностей результатов, возможных в шести иг­рах, и какие из этих побед и поражений приведут вашу команду к победам в четырех играх, необходимым для выигрыша? Ваша ко­манда может выиграть вторую игру, проиграть третью и затем вы­играть последующие три. Она может проиграть две игры подряд и выиграть последующие четыре. Или она может выиграть нужные четыре игры сразу, оставив команду-соперника только с одним вы­игрышем. Сколько существует возможных комбинаций побед и пора­жений в серии из шести игр? Треугольник дает ответ на этот вопрос. Все, что вам нужно, вы найдете в соответствующей строке.

Заметьте, что вторая строка треугольника, строка с шансами 50 на 50, моделирует задачу о семье, имеющей одного ребенка, или задачу об одном броске монеты и описывает события с числом ис­ходов, равным 2. Следующая строка показывает распределение ис­ходов в задаче о семье с двумя детьми или в задаче о двух бросках монеты и описывает события, у которых число возможных исходов равно 4, или 2². Следующая строка описывает события с числом исходов, равным 8, или 2³, и показывает распределение исходов в задаче о семье с тремя детьми. В задаче с шестью играми, остав­шимися для определения победителя турнира, вам нужно рассмот­реть строку с числом возможных исходов 2⁶ , то есть с 64 возмож­ными последовательностями побед и поражений²⁾. Последователь­ность чисел в этой строке такова:

1     6     15   20   15   6     1

Помните, что вашей команде для победы нужно выиграть еще четыре игры, а команде соперников нужны только три победы. Возможен случай, когда ваша команда выиграет все игры, а ее со­перники не одержат ни одной победы; число 1 в начале строки от­носится к этому случаю. Следующее число 6. Оно фиксирует шесть разных возможных последовательностей исходов, при осуществле­нии которых ваша команда В выиграет турнир, а ее соперники С выиграют только одну игру:

OYYYYY  YOYYYY  YYCYYY  YYYCYY YYYYOY YYYYYO

И существует пятнадцать разных возможных последовательнос­тей исходов, при осуществлении которых ваша команда выиграет четыре игры, в то время как команда соперников победит дважды.

Все остальные комбинации в конце концов приводят к трем нужным для победы соперников выигрышам их команды и мень­шему, чем необходимо для победы вашей команды (напоминаем: ей нужны четыре победы), числу ее выигрышей. Это значит, что суще­ствует 1 + 6 + 15 = 22 комбинации, при осуществлении которых ваша команда победит после поражения в первом матче, и 42 комбинации, при которых чемпионом станет команда соперников. В результате ве­роятность того, что после первого поражения ваша команда в остав­шихся шести играх выиграет четыре прежде, чем команда соперни­ков выиграет три, равна ²²/₆4» или чуть больше одной третьей.

²' Математики заметят, что Паскаль на самом деле ввел здесь биномиальное распреде­ление, или коэффициенты возведения (а + ft) в степени, представленные целыми числами. Например, первой строке соответствует (а + fc)° = 1, в то время как чет­вертой строке соответствует (а + Ь)³ = 1а³ + За²Ь + Зой² + 1Ь³.

Из примера следует еще кое-что. Зачем ваша команда будет играть все шесть оставшихся игр в последовательности, в которой она может победить досрочно? Или зачем соперники будут играть все четыре игры, если они могут выиграть в трех и этого им будет достаточно для победы?

Хотя на деле ни одна команда не станет продолжать игру после достижения необходимого для определения чемпиона числа выиг­рышей, логически законченное решение проблемы было бы неосу­ществимо без рассмотрения всех математических возможностей. Как заметил Паскаль в переписке с Ферма, в ходе решения задачи математические законы должны доминировать над желанием са­мих игроков, рассматриваемых только как абстракции. Он поясня­ет, что «для них обоих абсолютно безразлично и несущественно, будет ли [игра] на деле идти до самого конца».

Переписка была для Паскаля и Ферма восхитительным опытом исследования новых интеллектуальных пространств. Ферма писал Каркави о Паскале: «Я уверен, что он способен решить любую про­блему, за которую возьмется». В одном из писем к Ферма Паскаль признаётся: «Ваши числовые построения... превосходят мое по­нимание». В другом месте он характеризует Ферма как «челове­ка такого выдающегося интеллекта... и такого высочайшего мас­терства... [что его работы] сделают его первым среди геометров Европы».

У рассматриваемой задачи были аспекты, которые и Паскаля, глубоко погруженного в религиозные и моральные искания, и юри­ста Ферма беспокоили больше, чем связанные с ней математиче­ские проблемы. Согласно полученному ими решению, раздел банка в неоконченной игре в balla затрагивает проблемы морального пра­ва. Хотя игроки могли бы сразу поделить банк поровну, это реше­ние Паскалю и Ферма кажется неприемлемым, потому что оно бы­ло бы несправедливым по отношению к игроку, который к момен­ту прекращения игры оказывается впереди¹⁶.

Паскаль явно озабочен моральными аспектами проблемы и ос­торожен в словах. В своих комментариях к этой работе он отмеча­ет: «...в первую очередь следует признать, что деньги, поставлен­ные игроками на кон, им больше не принадлежат... но взамен они получают право ожидать того, что им принесет удача в соответ­ствии с правилами, на которые они согласились вначале». Если они решат остановить игру, не доведя ее до конца, им придется вновь восстановить исходные права на внесенные в банк деньги. Тогда «должно действовать правило, согласно которому деньги нужно распределить пропорционально тому, что каждому обещала удача. <...> Это справедливое распределение известно как раздел». Справедливые пропорции раздела определяют принципы теории вероятностей.

С учетом этого подхода становится очевидным, что решение Паскаля-Ферма ярко окрашено идеей управления риском, хотя они явно не использовали это понятие. Только безумец идет на риск, если правила не определены, будь то balla, покупка акций IBM, строительство фабрики или согласие на удаление аппендикса.

Но помимо моральных проблем, предложенное Паскалем и Фер­ма решение приводит к точным обобщениям и правилам вычисле­ния вероятностей, включая случаи участия более чем двух игро­ков, двух команд, двух полов, двух костей или монет с орлом и решкой. Применение этого подхода позволило им расширить границы теоретического анализа далеко за пределы наблюдений Кардано, что две кости с шестью гранями (или два броска одной кости) дадут б² комбинаций, а один бросок трех костей дает б³ комбинаций.

Последнее письмо в переписке Паскаля и Ферма датировано 27 октября 1654 года. Меньше чем через месяц Паскаль прошел через своего рода мистический опыт. Он зашил описание этого со­бытия в свое платье, чтобы носить его у сердца, провозгласив: «От­речение, абсолютное и сладостное». Он отказался от занятий мате­матикой и физикой, отрекся от роскоши, покинул старых друзей, продал всё, кроме религиозных книг, и вскоре ушел в парижский монастырь Пор-Рояль.

В июле 1660 года Паскаль совершил поездку в Клермон-Фер-ран, недалеко от жилища Ферма в Тулузе. Ферма предложил встретиться, чтобы «обняться и побеседовать пару дней», на пол­пути между двумя городами; он жаловался на плохое здоровье, объясняя нежелание взять на себя труд проехать все расстояние самому. В августе Паскаль в ответ написал:

Я едва помню, что существует такая вещь, как геометрия [т. е. матема­тика. — П. Б.]. Я почитаю геометрию столь бесполезной, что не могу ус­мотреть разницу между геометром и хорошим ремесленником. Хотя я считаю ее лучшим в мире ремеслом, это все же не более чем ремесло... Весьма вероятно, что я никогда больше не буду думать об этом¹⁷.

Во время пребывания в Пор-Рояле Паскаль собрал воедино свои мысли о жизни и религии и опубликовал их в книге, озаглавлен­ной «Pensees» («Мысли»)¹⁸. Во время работы над этой книгой он за­полнил с обеих сторон два листа бумаги, по словам Хакинга «на­писанные разбегающимся во все стороны почерком... полные подчис­ток, исправлений, производящие впечатление запоздалых раздумий». Этот фрагмент приобрел известность как пари Паскаля (le pari de Pascal). Здесь он задается вопросом: «Есть Бог или нет Бога? К чему нам склониться? Разум молчит».

Опираясь на свой анализ вероятных исходов игры в balla, Пас­каль ставит вопрос в терминах случайных игр. Он постулирует иг­ру, которая продолжается до бесконечности. В данный момент бро­сается монета. На что вы поставите — на орла (Бог есть) или реш­ку (Бога нет)?

Хакинг утверждает, что ход рассуждений Паскаля в предло­женном им варианте ответа на этот вопрос представляет собой на­чало теории принятия решений. «Теория принятия решений, — рассуждает Хакинг, — это теория о том, на что решиться, когда неизвестно, что произойдет»¹⁹. Принятие такого решения являет­ся первым и важнейшим шагом при любых попытках управлять риском.

Иногда мы принимаем решения на основе прошлого опыта, тех экспериментов, которые мы или другие проводили в течение жиз­ни. Но нам недоступен эксперимент, способный доказать бытие или небытие Бога. Зато в наших силах исследовать будущие по­следствия веры или неверия в Бога. Мы никогда не сможем изба­виться от этой дилеммы, потому что самим актом своего существо­вания принуждены играть в эту игру.

Паскаль объясняет, что вера в Бога — это не решение. Вы не можете проснуться утром и сказать: «Сегодня, кажется, я решу ве­рить в Бога». Вы верите или не верите. Решением, следовательно, является выбор или отказ от таких действий, которые будут вести к вере в Бога, подобно общению с благочестивыми людьми и сле­дованию жизни «святой и праведной». Следующий этим предписа­ниям ставит на то, что Бог есть. Тот, кто не может смириться с ними, ставит на то, что Бога нет.

Единственный способ выбрать между ставкой на то, что Бог есть, и ставкой на то, что Он не существует, в этой описанной Пас­калем бесконечной игре с бросанием монеты заключается в принятии решения, является ли исход, при котором Бог существует, в не­котором смысле более предпочтительным, чем исход, в соответствии с которым Бог не существует, даже если шансы могут быть толь­ко 50 на 50. Как раз этот взгляд привел Паскаля к решению — к выбору, в котором ценность исхода и вероятность того, что он бу­дет иметь место, различаются, потому что последствия обоих ис­ходов различны³⁾.

Если Бога нет, не важно, ведем мы праведную жизнь или гре­шим. Но предположим, что Бог есть. Тогда, поставив против Его существования и отказавшись от праведной жизни, вы рискуете быть обреченным на вечные муки; поставив же на существование Бога, вы приобретаете возможность спасения, если Он есть. По­скольку спасение, естественно, предпочтительнее вечных мук, пра­вильным следует признать решение исходить в своем поведении из предположения, что Бог есть. «К чему нам склониться?» Для Пас­каля ответ был очевиден.

Здесь Паскаль предвосхитил эпохальное открытие Даниила Бернулли в теории при­нятия решений, сделанное им в 1738 году, о чем мы поговорим подробно в главе 6. Латинское название этой книги было «Ars Cogitandi», см.: [Hacking, 1975, p. 12, 24].

Когда Паскаль решил пустить в оборот прибыль от принадле­жавшей ему омнибусной линии, чтобы оказать финансовую помощь монастырю Пор-Рояль, он получил интересный побочный продукт²⁰. В 1662 году группа его сотоварищей по монастырю опубликовала ра­боту большой важности, «La logique, ou 1'art de penser» («Логика, или Искусство мыслить»), которая между 1662-м и 1668 годами выдержала пять изданий⁴). Хотя имя ее автора не было названо, основным — но не единственным — автором считается Антуан Арно, которого Хакинг полагает, «по-видимому, самым блестящим теоло­гом своего времени»²¹. Книга была немедленно переведена на дру­гие европейские языки и еще в XIX столетии использовалась в ка­честве учебника.

В последней части книги есть четыре главы о вероятности, ко­торые касаются процесса развития гипотезы, основанной на огра­ниченном наборе фактов; сегодня этот процесс называют статисти­ческим выводом. Среди прочего в этих главах излагаются «правило должного применения разума в определении ситуаций, когда сле­дует подчиниться авторитету других», правила истолкования чудес, основа для истолкования исторических событий и рассказыва­ется о применении количественных измерений вероятности²².

В последней главе описывается игра, в которой каждый из де­сяти игроков ставит одну монету в надежде выиграть девять монет партнеров по игре. Автор указывает, что есть «девять шансов поте­рять монету и только один — выиграть девять»²³. Несмотря на тривиальность, эта фраза заслужила бессмертие. По утверждению Хакинга, это первый случай в печатной литературе, «когда веро­ятность, что называется, измерена»²⁴.

Выражение заслуживает бессмертия не только по этой причине. Автор предполагает, что описываемые им игры тривиальны, но он проводит аналогию с событиями, взятыми из жизни. Например, вероятность быть убитым молнией мала, но «многие люди... очень пугаются при звуках грома»²⁵. Затем он высказывает принципи­ально важное утверждение: «Страх перед ущербом должен быть пропорционален не только величине ущерба, но и вероятности его нанесения»²⁶. Здесь мы сталкиваемся еще с одной важной новой идеей: на решение должны влиять оба фактора — тяжесть послед­ствий и их вероятность. Можно эту мысль сформулировать иначе: решение должно учитывать и силу нашего желания некоего опре­деленного исхода, и оценку того, насколько вероятен желательный исход.

Сила нашего стремления к чему-либо, что представляется по­лезным, быстро становится чем-то большим, чем простой служан­кой вероятности. Полезность занимает центральное место во всех построениях теории принятия решений и готовности к риску. Позже мы не раз вернемся к этой мысли.

Историки любят отмечать случаи, когда что-то очень важное почти случилось, но по той или иной причине все-таки не про­изошло. История треугольника Паскаля — яркий пример такого случая. Мы видели, как можно строить предположения о возмож­ном числе мальчиков и девочек в многодетных семьях. Мы выяс­нили, как определять вероятные результаты в чемпионате (для рав­ных по классу команд) после того, как часть матчей уже сыграна. Короче говоря, мы уже делали прогнозы! Паскаль и Ферма сумели завладеть ключом к систематическому методу вычисления вероят­ности будущих событий. Они еще не повернули этот ключ, но уже вставили его в замок. Значение их открытий для управления риском и принятия решений в бизнесе, в частности в системе страхо­вания, было оценено другими. В «Логике» Пор-Рояля сделан пер­вый важный шаг. От Паскаля и Ферма идея предсказания тенден­ций экономического развития или использования вероятности для предсказания экономических потерь была еще слишком удалена, чтобы они могли заметить и по достоинству оценить ее. Только ретроспективный взгляд позволяет увидеть, как близко они к это­му подошли.

Неизбежная неопределенность будущего никогда не позволит нам полностью изгнать тень рока из наших надежд и страхов, но после 1654 года способ мумбо-юмбо был навсегда вычеркнут из числа методов прогнозирования и выбора решений.